Decimalen uitrekenen

Geef de decimale breuken van $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , ... , $\frac{1}{11}$ . Geef van de breuken die niet mooi uitkomen zes decimalen.

We bekijken een lengte van 8 km. We gaan die verdelen in 11 gelijke stukken.

stap 1:

8 km = 80 hm; dit gedeeld door 11 is 7 hm, met een rest van 3 hm. Die rest moeten we nog verder verdelen.
stap 2:

3 hm = 30 dam; dit gedeeld door 11 is 2 dam, met een rest van 8 dam. Die rest moeten we nog verder verdelen.

Maak zelf stap 3, 4 en 5.

Vul in: $\frac{8}{11} km = 7 hm + 2 dam + ... m + ... dm + ... cm + ... mm + ...$

Geef de eerste tien decimalen van $\frac{8}{11}$ .

Wat is de honderdste decimaal van $\frac{8}{11}$ ?

Voorbeeld: de decimale breuk van $\frac{35}{54}$

stap 1

35 = 350 tienden; dit gedeeld door 54 is 6 tienden, met rest 26 tienden. Die rest moeten we nog verder verdelen.
stap 2

26 tienden = 260 honderdsten; dit gedeeld door 54 is 4 honderdsten, met rest 44 honderdsten. Die rest moeten we verder verdelen.
stap 3

44 honderdsten = 440 duizendsten; dit gedeeld door 54 is 8 duizendsten, met rest 8 duizendsten. Die rest moeten we verder verdelen.
stap 4

8 duizendsten = 80 tienduizendsten; gedeeld door 54 is 1 tienduizendste, met rest 26 tienduizendsten. Die rest moeten we verder verdelen.
stap 5

We zitten nu in de situatie van stap 2: we moeten 260 delen door 54. Dus krijgen we weer als decimaal 4 met als rest 44.
stap 6

We zitten nu in de situatie van stap 3: we moeten 440 delen door 54. Dus krijgen we weer als decimaal 8 met als rest 8.
Enzovoort

Schematisch: $35 : 54$

$350 : 54 = 6$	rest 26	tienden
$260 : 54 = 4$	rest 44	honderdsten
$440 : 54 = 8$	rest 8	duizendsten
$80 : 54 = 1$	rest 26	tienduizendsten
$260 : 54 = 4$	rest 44	honderdduizendsten
$440 : 54 = 8$	rest 6	miljoensten
$\frac{35}{54} = 0,648148 \dots$

Bestudeer het voorbeeld.

Wat zijn de zevende en achtste decimaal van $\frac{35}{54}$ ?

Omdat de resten zich herhalen, herhalen zich ook de decimalen van $\frac{35}{54}$ .

Wat is de honderdste decimaal van $\frac{35}{54}$ ?

Bepaal met het schema uit het voorbeeld -- of met een eigen schema -- de decimale schrijfwijze van:

$\frac{17}{33}$

$\frac{123}{37}$

$\frac{1234}{625}$

Soms komt een deling wel "mooi uit": dan treedt "rest 0" wel op. Bijvoorbeeld bij $\frac{37}{40}$ . Dan hebben we te maken met een breuk die te schrijven is als eindige decimale breuk.

Geef de decimale breuk van $\frac{37}{40}$ .

Geef nog drie breuken (tussen 0 en 1) waarvan de decimale breuk eindig is.

Hieronder staan zes gewone breuken en zes decimale breuken.

$\frac{3}{7}$		$0,0625$
$\frac{7}{8}$		$0,266666 \dots$
$\frac{6}{11}$		$0,3809523 \dots$
$\frac{4}{15}$		$0,428571 \dots$
$\frac{1}{16}$		$0,545454 \dots$
$\frac{8}{21}$		$0,875$

Door goed te kijken zie je welke decimale breuk bij welke gewone breuk hoort.
Welke horen bij elkaar?
(Zonder rekenmachine natuurlijk!)

Als je weet dat $\frac{1}{2} = 0,5$ , dan weet je ook dat $\frac{1}{4} = 0,25$ . Immers, $\frac{1}{4}$ is de helft van $\frac{1}{2}$ , dus moet je de helft van $0,50$ nemen om de decimale breuk van $\frac{1}{4}$ te krijgen.

Ga verder met halveren: neem de helft van $\frac{1}{4}$ , daar weer de helft van en vervolgens nog eens de helft daar weer van. Welke breuken krijg je en welke decimale breuken horen daar dus bij?

Als je weet dat $\frac{1}{5} = 0,2$ , weet je ook dat $\frac{1}{25} = 0,04$ . Immers $\frac{1}{25}$ is het eenvijfde deel van $\frac{1}{5}$ dus moet je $0,20$ door $5$ delen om de decimale breuk van $\frac{1}{25}$ te krijgen.

Welke breuken krijg je als je $\frac{1}{25}$ door 5 deelt, en de uitkomst daarvoor nog eens door 5.

De rekenmachine geeft: $\frac{4}{7} = 0,5714285714$ . Dat dit zeker niet precies goed is zie je aan de uitkomst van het product van $7$ en $0,5714285714$ .

Wat is het laatste (tiende) cijfer achter de komma in die uitkomst?

We maken een berekening volgens het schema:
$40 : 7 = 5$ , rest $5$ tienden
$50 : 7 = 7$ , rest $1$ honderdsten
$10 : 7 = 1$ , rest $3$
$30 : 7 = 4$ , rest $2$
$20 : 7 = 2$ , rest $6$
$60 : 7 = 8$ , rest $4$

Tot zover klopt het precies met wat het rekenmachientje opleverde.

Bereken de volgende twee decimalen.

In de zesde stap kwam rest 4 voor. In de zevende stap moet je dus $\frac{40}{7}$ uitrekenen. Maar dat is precies de eerste stap. In de achtste stap moet je $\frac{50}{7}$ uitrekenen en dat is precies de tweede stap. Geen wonder dat de decimalen zich gaan herhalen!

Welke stap zal weer hetzelfde zijn als de eerste stap?
Welke decimaal ken je dus ook?

Wat is de 100^ste decimaal?

Je rekenmachine geeft: $\frac{8}{13} = 0,6153846154$
$\frac{8}{13}$ komt niet "mooi uit", dat komt omdat "rest 0" niet optreedt.

Hoeveel resten zijn er hoogstens mogelijk?

Na hoeveel stappen treedt er dus zeker herhaling op?

Maak een berekening volgens het schema. Welke decimale breuk vind je?

Na hoeveel decimalen begint de herhaling?

Als je een rationaal getal schrijft als decimale breuk, krijg je een eindige of een repeterende decimale breuk.
Een eindige decimale breuk kun je aanvullen met oneindig veel 0-en. Zodoende kun je ook hem opvatten als repeterende decimale breuk.