De hoekensom van een veelhoek

In de figuur zijn enkele veelhoeken getekend: twee vierhoeken, twee vijfhoeken en één zeshoek. Drie veelhoeken zijn in driehoeken verdeeld.

Neem de andere twee veelhoeken over in je schrift en verdeel ze in driehoeken (alleen stippenlijntjes van hoekpunt naar hoekpunt tekenen).

Bereken de som van de hoeken in een vierhoek.

Bereken de som van de hoeken in een vijfhoek.

Bereken de som van de hoeken in de zeshoek.

Je hebt nu de hoekensom berekend van een vierhoek, vijfhoek en zeshoek. Zet de resultaten in een tabel. Vul de tabel aan met de hoekensom van een zevenhoek en een elfhoek.

	driehoek	vierhoek	vijfhoek	zeshoek	zevenhoek	elfhoek	$n$ -hoek
hoekensom	$180 °$

Schrijf in de tabel een formule voor de hoekensom van een $n$ -hoek (een veelhoek met $n$ hoekpunten).

Een vierhoek heeft drie hoeken van $65 °$ .

Hoe groot is de vierde hoek?

De twee zijden tussen de hoeken van $65 °$ zijn allebei 3 cm.

Teken de vierhoek.

Hoe lang zijn de andere twee zijden?

Een vijfhoek heeft vier hoeken van $95 °$ .

Hoe groot is de vijfde hoek?

De drie zijden tussen de hoeken van $95 °$ zijn alledrie 3 cm.

Teken de vijfhoek.

Hoe lang zijn de andere twee zijden?

Hoeveel stompe hoeken kan een vierhoek hebben?

Hoeveel inspringende hoeken kan een vierhoek hebben?

Hoeveel stompe hoeken kan een vijfhoek hebben?

Hoeveel inspringende hoeken kan een vijfhoek hebben?

Regelmatige veelhoeken

Hieronder zie je twee keer een regelmatige twaalfhoek. Het is op twee verschillende manieren opgedeeld in driehoeken: de schelp-verdeling en de taart-verdeling. Je begrijpt wel waarom ze zo heten.

Bekijk het linker plaatje met de schelp-verdeling.

Hoe groot zijn de hoeken van een twaalfhoek samen?

Hoe groot is dus een hoek in een regelmatige twaalfhoek?

Bekijk het rechterplaatje van de regelmatige twaalfhoek met de taart-verdeling. Het middelpunt is verbonden met de hoekpunten; zodoende is er een waaier ontstaan van twaalf gelijke driehoekjes rond dat middelpunt.

Hoe groot zijn de hoeken van zo'n driehoekje?

Je kunt regelmatige veelhoeken tekenen met behulp van een klok. Als je de punten 1, 4, 7 en 10 verbindt, krijg je een regelmatige vierhoek, dus een vierkant. De figuur staat ook op je werkblad.

Teken in de klok een regelmatige driehoek, een regelmatige zeshoek en een regelmatige tienhoek. Maak daarbij gebruik van de urenstreepjes of de minutenstreepjes.

Bereken hoe groot een hoek in een regelmatige tienhoek is. Dat kan op twee manieren; één manier is genoeg.

Hoe groot zijn de hoeken van een regelmatige honderdhoek tezamen?

Hoe groot is elk van de hoeken van een regelmatige honderdhoek?

Je kunt een regelmatige vijftienhoek tekenen door minutenstreepjes op een klok te verbinden.

Hoeveel verschillende regelmatige vijftienhoeken kun je op een klok op die manier maken?

Je kunt niet een regelmatige achthoek op een klok tekenen met minutenstreepjes als hoekpunten.

Waarom niet?

Welke regelmatige veelhoeken kun je op een klok tekenen? Zeg van elk soort ook hoeveel verschillende er zijn.

10s

De hoeken van een $n$ -hoek zijn tezamen $(n - 2) \cdot 180 °$ . Hierin is $n$ een positief geheel getal, groter dan 2.

Hoe groot is elke hoek van een regelmatige $n$ -hoek?

Hoe groter $n$ , des te groter de hoek van een regelmatige $n$ -hoek.

Hoe groot moet je $n$ nemen opdat de hoeken $170 °$ zijn?

Opmerking:

Wil je nog extra oefenen met het berekenen van hoeken met de hoekensom?
Dat kan met de applet Mini-loco hoeken berekenen (2) .

Euclides
ca. 325 - 265 v Chr.

Meetkunde begint eenvoudig maar groeit tot een ingewikkeld bouwwerk. De eerste die zo'n bouwwerk zorgvuldig opbouwde was de Griek Euclides (ca. 325 - 265 v Chr.). Over zijn leven is weinig met zekerheid bekend, behalve dat hij leraar was in Alexandrië (Egypte). Daar schreef hij zijn beroemde De Elementen, waarin hij alle meetkunde die toen bekend was samenvatte. De Elementen bestaat uit 13 boeken. Misschien heeft Euclides ze niet allemaal zelf geschreven, maar had hij de leiding over een heel team van medewerkers.

De Elementen heeft grote invloed gehad op de ontwikkeling van de wetenschap.

Zo was het meetkundeonderwijs in Nederland tot 1960 gebaseerd op De Elementen. Na de Bijbel was het het meest gelezen boek. Je zou dus kunnen zeggen dat Euclides de leraar was met de meeste leerlingen.

Wil je nog meer hierover weten, kijk dan op Internet.
http://wikipedia.org/wiki/Euclides_van_Alexandrië
http://www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/Wiskundigen/Euclides.html

Een tienhoek is verdeeld in twee soorten ruiten.

We gaan alle hoeken die in de figuur zijn aangegeven berekenen. We beginnen in het midden. Daar komen vijf even grote hoeken bij elkaar.

Bereken eerst $∠ a$ , dan $∠ b$ .

Bereken daarna $∠ c$ en ten slotte $∠ d$ .

Aan de buitenkant langs de omtrek van de tienhoek zitten afwisselend hoeken ter grootte van $c$ en hoeken ter grootte van $a + 2 d$ .

Is de tienhoek een regelmatige tienhoek?

Zie ook applet Ruitenmozaïek.