Redeneren met hoeken

Twee lijnen maken vier hoeken met elkaar: $a$ , $b$ , $c$ en $d$ .

De hoeken $a$ en $c$ liggen "tegenover elkaar". Daarom zeggen we dat $a$ en $c$ overstaande hoeken zijn.
Om dezelfde reden zijn $b$ en $d$ ook overstaande hoeken.

Je zult waarschijnlijk niet twijfelen aan het volgende.

De hoeken $a$ en $c$ zijn even groot.
De hoeken $b$ en $d$ zijn even groot.

We kunnen dat ook beredeneren. Dat doen we in de volgende opgave.

Stel dat hoek $b = 37 °$ .

Hoe groot is hoek $a$ dan? En hoek $c$ ?

Hoe groot zijn $a$ en $c$ als $b = 38 °$ ?

Bekijk de vier hoeken $a$ , $b$ , $c$ en $d$ in het theorieblok hierboven.

Druk hoek $a$ uit in $b$ .

Druk hoek $c$ uit in $b$ .

Wat kun je concluderen over de grootte van de hoeken $a$ en $c$ ?

Wat je hierboven begrepen hebt, is altijd waar: overstaande hoeken zijn even groot.

Dit is de moeite waard om te onthouden. We zullen het later vaak gebruiken in een redenering.

Een dergelijke bewering in de wiskunde die altijd waar is noemen we een stelling.

Van de hoeken in de figuur weten we: $a = 75 °$ en $b = 40 °$ .

Hoe groot zijn de hoeken $d$ en $e$ ? Hoe weet je dat?

Hoe groot zijn de hoeken $c$ en $f$ ?

Drie lijnen gaan door één punt. Er zijn zes hoeken bij het snijpunt. Drie van die hoeken zijn gekleurd.

Hoe groot zijn die drie hoeken samen? Schrijf ook op hoe je je antwoord hebt gevonden.

Opmerking:

Wil je nog extra oefenen met het berekenen van hoeken?
Dat kan met de applet Mini-loco hoeken berekenen (1) .

Twee evenwijdige lijnen (aangegeven door de pijltjes) worden door een derde lijn gesneden. Hierin kun je de letter F ontdekken. Het paar aangegeven hoeken in de eerste figuur noemen we daarom F-hoeken.
Je kunt in zo'n plaatje ook de letter Z ontdekken. Het paar aangegeven hoeken in de tweede figuur noemen we daarom Z-hoeken.

In het plaatje kun je nog meer F-hoeken ontdekken.

Geef op je werkblad alle paren F-hoeken aan. Gebruik voor elk paar een andere kleur.

Behalve het paar Z-hoeken dat hierboven is aangegeven is er nog een paar Z-hoeken te ontdekken in het plaatje.

Geef op je werkblad dat paar Z-hoeken aan.

F-hoeken zijn even groot.

Z-hoeken zijn even groot.

Dit is ook weer een voorbeeld van een stelling. Vanaf nu kun je hiervan gebruik maken.

Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door twee andere evenwijdige lijnen. Neem de figuur over in je schrift.

Hoe noem je de figuur die binnen de vier lijnen ligt (die dus door de vier lijnen wordt begrensd)?

Hoeveel hoeken zie je in totaal in de figuur?

Een van de hoeken is $a$ .
Kleur op het werkblad rood: de hoek die met $a$ een paar overstaande hoeken vormt.
Kleur groen: beide hoeken die met $a$ een paar F-hoeken vormen.
Kleur blauw: beide hoeken die met $a$ een paar Z-hoeken vormen.

Er zijn nog twee scherpe hoeken in de figuur die niet gekleurd zijn. Die vormen met een van de groene hoeken een paar Z-hoeken of een paar F-hoeken.

Wat weet je nu over de grootte van de scherpe hoeken in de figuur.

Hoe weet je nu ook dat alle stompe hoeken in de figuur even groot zijn?

In het vervolg van dit hoofdstuk gaan we rekenen en redeneren. We baseren ons daarbij op de volgende stellingen.

Een gestrekte hoek is $180 °$ .
Overstaande hoeken zijn gelijk.
F-hoeken zijn gelijk.
Z-hoeken zijn gelijk.

De hoekensom

We gaan nu een experiment doen met de hoeken van een driehoek.

Teken een driehoek op een stuk papier en knip hem uit.
Van die driehoek scheuren we de hoeken af en leggen de drie stukken met de hoekpunten tegen elkaar aan.
Wat valt je op?

Herhaal dit experiment met een andere driehoek.

Drie lijnen gaan door één punt; een vierde lijn is evenwijdig aan een van de lijnen. In de figuur zijn twee hoeken aangegeven: $a$ en $b$ .

Welke van de hoeken $p$ , $q$ en $r$ is gelijk aan $a$ ? Waarom?

Welke van de hoeken $p$ , $q$ en $r$ is gelijk aan $b$ ? Waarom?

Stel dat je weet dat $∠ a = 57 °$ en $∠ b = 42 °$ . Hoe groot is hoek $q$ dan?

Stel dat je weet dat $a = 58 °$ en $b = 41 °$ . Hoe groot is hoek $q$ dan?

Hoe kun je hoek $q$ berekenen als je de hoeken $a$ en $b$ kent?

In driehoek $A B C$ zijn twee hoeken gegeven: $∠ A = 27 °$ en $∠ B = 105 °$ .
Door punt $C$ is een lijn getekend, die evenwijdig is aan $A B$ .

Neem de figuur over in je schrift.

Er zijn nu drie hoeken bij $C$ . Twee daarvan ken je al met behulp van Z-hoeken.

Hoe groot is de derde hoek bij $C$ (de middelste)?

Zodra je in driehoek $A B C$ $∠ A$ en $∠ B$ kent, kun je $∠ C$ uitrekenen.

Met welke rekensom?

10s

In opgave 2 heb je in feite ook al gezien dat de hoekensom van een driehoek $180 °$ is.

Leg dat uit.

Hoekensom van een driehoek

De som van de hoeken van een driehoek is $180 °$ .
Als je dus twee hoeken van een driehoek kent, kun je de derde hoek berekenen.

In beide driehoeken zijn twee van de hoeken gegeven.

Bereken $∠ C$ . Schrijf je berekening netjes op.

Bereken $∠ M$ . Schrijf je berekening netjes op.

11s

12s

Van driehoek $A B C$ is $∠ A = 66 °$ .

Stel dat de driehoek rechthoekig is. Hoe groot is dan de andere scherpe hoek?

Stel dat de driehoek gelijkbenig is. Hoe groot zijn de andere hoeken? (Er zijn twee mogelijkheden.)