Optellen van uitdrukkingen

Bekijk de plattegrond van de straten in de wijk Vakhorst. De afmetingen van een hokje in Vakhorst weten we niet. We spreken het volgende af.

Twee kruispunten die boven elkaar liggen, zijn verbonden door een kort stukje weg. De lengte van een kort stukje weg is $a$ (in meters).
Twee kruispunten die naast elkaar liggen, zijn verbonden door een wat langer stukje weg. De lengte van een lang stukje weg is $b$ (in meters).

Dat we in meters werken zullen we voortaan weglaten.

In Vakhorst rijdt een bus van A, via de haltes B, C, D, E, F en G naar H en weer dezelfde weg terug. De route van de bus is in de plattegrond aangegeven.

We kunnen nu de lengte van een route in Vakhorst schrijven met behulp van de variabelen $a$ en $b$ .

Voorbeeld

De lengte van de route AB is $a + a + a + a = 4 \cdot a$ .

In plaats van $4 \cdot a$ schrijven we vanaf nu $4 a$ . De vermenigvuldigingspunt laat je dus weg. En in plaats van $1 a$ schrijven we kortweg $a$ .

De lengte van de route BC is $5 a + 2 b$ .

Ga dit na.

Schrijf de lengtes van de routes CD, DE, EF, FG en GH op.

De lengte van de route van halte A naar halte C kun je vinden met behulp van de lengte van de route AB en de lengte van de route BC.

$lengte AB$	$+$	$lengte BC$	$=$	$lengte AC$
$4 a$	$+$	$5 a + 2b$	$=$	$9 a + 2 b$

Kijk in het stratenplan of de lengte van route AC klopt.

Bereken zo ook de lengte van route CE.
$lengte CD + lengte ..... = lengte CE$

Bereken ook de lengte van route EH.
$lengte EF + lengte ..... + lengte ..... = lengte EH$

Wat is de totale lengte van de route van A naar H?

Hoe lang is de busroute als $a = 60$ en $b = 100$ ? Schrijf je berekening op.

Ines stapt bij halte A op de bus en reist naar B. Dit kost haar 40 cent. Wat later reist ze van B naar C. Dit kost 80 cent. De prijs van een kaartje hangt alleen af van het aantal korte stukjes (dat zijn de stukjes met lengte $a$ ) en het aantal lange stukjes (dat zijn de stukjes met lengte $b$ ) in de rit.

Probeer uit te vinden wat de prijs is van één kort stukje (met lengte $a$ ) en wat één lang stukje (met lengte $b$ ) kost. Schrijf op hoe je dit gedaan hebt.

In de plattegrond is een route getekend die punt A met punt C verbindt. De lengte van de route AB is $3 a + 2 b$ . De lengte van de route BC is $4 a + 3 b$ . De lengte van de route AC is $7 a + 5 b$ .

Bij de getekende route hoort de gelijkheid:
$3 a + 2 b + 4 a + 3 b = 7 a + 5 b$ .

Wanneer je een getal invult voor $a$ en $b$ , dan levert de uitdrukking links van het gelijkteken dezelfde uitkomst op als de uitdrukking rechts. Controleer maar.

Teken in de applet (of in het rooster op je werkblad) een route bij $a + 2 b + 3 a + 3 b$ . Kleur alle korte stukjes rood (dat zijn de stukjes van lengte $a$ ) en alle lange stukjes blauw (dat zijn de stukjes van lengte $b$ ).

Welke gelijkheid hoort bij deze route?

Schrijf de gelijkheid op die hoort bij de route van punt A naar punt C.

Verander de route van punt A naar punt C zó, dat je een route van lengte $7 a + 6 b$ krijgt. Dit kan op veel manieren. Gebruik de applet (of het rooster op je werkblad).

Kun je een route van lengte $10 a + 14 b$ van A naar C tekenen? Geef uitleg.

Schrijf zo eenvoudig mogelijk. In de applet (of op het werkblad) staat een groot rooster; dat kun je gebruiken als je wilt.
$3 a + 2 b + 4 a + 4 b$
$6 a + 3 b + 3 a + 5 b$
$4 a + 2 b + a + 7 b$

Er zijn twee routes vanuit A getekend, één naar B en één naar C. De lengte van de twee routes samen is $3 a + 5 b + 3 a$ en dat kun je schrijven als $2 \cdot 3 a + 5 b$ .

Schrijf $2 \cdot 3 a + 5 b$ zo eenvoudig mogelijk.

Uitdrukkingen zonder haakjes schrijven

figuur 1

In figuur 1 is de route AC gekleurd. Ines loopt die route elke morgen heen en terug en 's middags weer. Dagelijks legt zij dus een lengte van $4 \cdot (7 a + 5 b)$ of korter $4 (7 a + 5 b)$ af. Je kunt de lengte van die route ook zonder haakjes schrijven in de vorm: $... a + ... b$ .

Schrijf $4 (7 a + 5 b)$ zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

figuur 2

In figuur 2 zijn twee routes vanuit A getekend, één naar B en één naar C. Beide routes hebben lengte $3 a + 5 b$ . De lengte van deze routes samen is $2 (3 a + 5 b)$ .

Schrijf $2 (3 a + 5 b)$ zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

In de opgaven 5 en 6 heb je de routes $2 \cdot 3 a + 5 b$ en $2 (3 a + 5 b)$ bekeken. In het rooster zie je dat deze uitdrukkingen verschillend zijn. Je kunt dit ook controleren door voor $a$ en $b$ getallen in te vullen.

Veronderstel dat $a = 100$ en $b = 50$ .

Wat is dan $2 \cdot 3 a + 5 b$ ?

En wat is $2 (3 a + 5 b)$ ?

We bekijken twee routes, één van lengte $5 (3 a + 5 b)$ en één van lengte $5 \cdot 3 a + 5 b$ . Om het lengteverschil tussen de routes uit te rekenen, hoef je niet eerst de lengte van beide routes apart uit te rekenen. Om het lengteverschil te berekenen, hoef je alleen maar te weten hoe groot $b$ is!

Bereken het lengteverschil handig als $b = 50$ . Schrijf je berekening op.

Wat is $b$ als het lengteverschil van de routes 3600 is? Schrijf op hoe je dit berekend hebt.

De uitdrukkingen $2 \cdot 3 a + 5 b$ en $2 (3 a + 5 b)$ stellen niet hetzelfde getal voor als $a = 100$ en $b = 50$ . Immers:
$2 \cdot 3 \cdot 100 + 5 \cdot 50 = 600 + 250 = 850$
$2 \cdot (3 \cdot 100 + 5 \cdot 50) = 2 \cdot 550 = 1100$

Je hebt nu met een tegenvoorbeeld laten zien dat de gelijkheid $2 \cdot 3 a + 5 b = 2 (3 a + 5 b)$ niet klopt.

We keren even terug naar hoofdstuk 3 - Formules.
De lengte van een rechthoek is $a$ meter, de breedte is $b + c$ meter.

Schrijf de oppervlakte van deze rechthoek op twee manieren.
De 1^e manier is: $lengte \cdot breedte$
De 2^e manier is: $donkere deel + lichte deel$

Welke gelijkheid kun je nu opschrijven?

De rechthoek die hoort bij $a (b + c) = a b + a c$ is al getekend.

Teken een rechthoek die hoort bij de distributiewet $a (b - c) = a b - a c$ .

Schrijf $2 (3 a + 5 b)$ zonder haakjes met behulp van één van de distributiewetten. Krijg je hetzelfde antwoord als toen je de som met een rooster maakte (zie opgave 6b)?

Schrijf $6 (2 a - 4 b)$ zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

Volgens de distributiewetten geldt:
$a (b + c) = a b + a c$
$a (b - c) = a b - a c$

Oefenen met vereenvoudigen

Vul de open plaatsen in beide schema's in. De schema's staan ook op het werkblad.

Verbind de uitdrukkingen die gelijk zijn. Als er meer dan twee uitdrukkingen gelijk zijn, maak dan een ketting. De uitdrukkingen staan ook op het werkblad.

De uitdrukking $2 (3 a + 7 b) + 6 a$ is gelijk aan de uitdrukking $12 a + 14 b$ . Reken maar na. Bedenk zelf vier verschillende uitdrukkingen die ook als uitkomst $12 a + 14 b$ hebben. Laat je maatje de uitdrukkingen controleren.

Bekijk eens het doolhof. Het doolhof staat ook op het werkblad.

Teken een route door het doolhof.

Welke uitdrukking hoort bij jouw route? Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Stel dat $a = 10$ en $b = 5$ en dat je niet vaker dan één keer door een hokje mag.

Welke route heeft dan de kleinste uitkomst?

12s

Ines staat op het schoolplein te praten met haar vriendin Anne.
Ines: "Ik loop altijd van huis naar school."
Anne: "Hoe ver is dat eigenlijk?"
Ines: "Uhm..., 540 meter."
Anne: "Loop je ook naar de tennisclub?"
Ines: "Nee, dat is 850 meter. Dat is me net te ver."

In de plattegrond zijn het huis van Ines (punt I), de school (punt S), de tennisclub (punt T) en het huis van Anne (punt A) aangegeven.

Hoe ver is het van het huis van Ines naar dat van Anne?

Als je de lengte van de route van Ines naar Anne vergelijkt met één van de andere routes, dan kun je erachter komen hoe lang een kort stukje $a$ en lang stukje $b$ zijn.

Hoe groot zijn $a$ en $b$ ? Schrijf je berekening op.

10s

13s

Paul fietst van zijn huis (punt P) naar zijn vriend Hans (punt H). Volgens de kilometerteller van Paul is de lengte van deze route 565 meter. Samen moeten Paul en Hans nog 815 meter fietsen naar de voetbalclub (punt V). In de plattegrond is de route gekleurd die Paul fietst.

Bereken hoe groot $a$ en $b$ zijn. Schrijf je berekening op.

Volgens het woordenboek Van Dale is algebra:
(het deel van de) wiskunde die zich bezighoudt met de betrekkingen van door letters en tekens aangeduide grootheden (= variabelen).

De algebra is van oorsprong Arabisch. Het woord algebra is een afkorting van "al-gabr wa-l-muqabala" , de titel van een leerboek van Muhammad ibn Musa, de uitvinder van de algebra. Simon Stevin heeft voor het vreemde woord "algebra" het Nederlandse woord "stelkunde" voorgesteld, maar dat is niet gangbaar geworden.

Tot het eind van de Middeleeuwen bestond de wiskunde in Europa uit meetkunde. De Europeanen hielden zich niet bezig met het algebraïsch gegoochel met variabelen. Het toverwoord "abracadabra" is zelfs een verbastering van het Arabische woord algebra.