Gebruik van haakjes

Anneke rekent $5 + 4 \times 3$ uit; ze vindt 27 als antwoord.
Vinja rekent ook $5 + 4 \times 3$ uit; zij vindt 17 als antwoord.

Hoe kan dat nou? Hoe hebben Anneke en Vinja hun antwoorden gevonden.

Wat is - vind jij - de juiste uitkomst van de rekensom $5 + 4 \times 3$ ?

Wie van de twee het goed gedaan heeft, is een kwestie van afspraak. Wat moet je het eerst doen, $5 + 4$ uitrekenen of $4 \times 3$ uitrekenen?

We spreken het volgende af.

Als je in een berekening moet optellen (of aftrekken) en ook moet vermenigvuldigen (of delen), dan zullen we eerst vermenigvuldigen (of delen) en daarna pas optellen (of aftrekken).

Maak de volgende berekeningen. Schrijf ook een tussenstap op. De eerste en tweede berekening zijn als voorbeeld al gemaakt.
$11 + 5 \times 2 = 11 + 10 = 21$
$11 - 5 \times 2 = 11 - 10 = 1$
$10 + 2 \times 3 + 4$
$10 - 2 \times 3 + 4$
$6 \times 7 + 5 \times 6$
$6 \times 7 - 5 \times 6$

Bereken:

$100 + 10 : 2$	$100 + 10 + 2$
$100 \times 10 : 2$	$100 \times 10 + 2$
$100 - 10 : 2$	$100 - 10 + 2$
$100 : 10 : 2$	$100 : 10 + 2$

De "spelregels" van het rekenen

Eerst binnen de (binnenste) haakjes.
Vermenigvuldigen en delen gaan voor optellen en aftrekken.
Bij vermenigvuldigen en delen van links naar rechts rekenen: het eerst doen wat je het eerst tegenkomt.
Bij optellen en aftrekken van links naar rechts rekenen: het eerst doen wat je het eerst tegenkomt.

Voorbeelden

$12 \times (6 + 2) = 12 \times 8 = 96$
$12 + 6 \times 2 = 12 + 12 = 24$
$12 + 6 : 2 = 12 + 3 = 15$
$12 - 6 + 2 = 6 + 2 = 8$
$12 : 6 \times 2 = 2 \times 2 = 4$

Plaats haakjes zo dat de som klopt.
$6 + 6 : 2 + 1 = 4$
$6 + 6 : 2 + 1 = 7$
$6 + 6 : 2 + 1 = 8$
$6 + 6 : 2 + 1 = 10$

Maak door het plaatsen van haakjes zoveel mogelijk uitkomsten met $9 + 6 : 3 - 1$ .

Nu gaan we een grotere berekening maken; eentje waarin je negen stappen moet doen. Daarvoor moet je heel zorgvuldig werken.

Bereken de uitkomst van $1 + 6 : 3 + (7 - 4) + 2 \times 2 + 5 + 2 \times 3$ .

Als je uit je berekening 21 hebt gekregen, hoef je vraag b niet meer te beantwoorden. In deze vraag word je namelijk geholpen het goede antwoord te vinden.

Bereken eerst de som tussen de haakjes en voer dan alle vermenigvuldigingen en delingen uit. Dan krijg je zoiets: $1 + \dots + \dots + \dots + \dots + \dots$ .
Maak vervolgens de berekening af.

Nog een paar van zulke sommen. Schrijf enkele tussenstappen op.
$(10 - 2 + 5 \times 8 : 2) : (4 + 3)$
$10 - (2 + 5) \times 8 : 2 : 4 + 3$
$10 - 2 + 5 \times 8 : 2 : 4 + 3$
$10 - ((2 + 5) \times 8) : 2 : 4 + 3$

Bereken:
$2 : 2 \times 2 : 2 \times 2 : 2$
$2 \times 2 : 2 \times 2 : 2 \times 2$
$2 + 2 - 2 + 2 - 2 + 2$
$2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2$

Je begint met het getal 8 en kunt de volgende operaties uitvoeren:

A: vermenigvuldig met 10
B: deel door 10
C: tel er 10 bij op
D: trek er 10 van af

De reeks ADBC levert als uitkomst 17 op.

Welke reeks levert de grootste uitkomst op?

Begin met het getal $n$ (in plaats van 8).
Schrijf bij de reeks ADBC de uitkomst op, uitgedrukt in de variabele $n$ .

Doe dat ook voor de reeksen DBCA en DCBA.

In de volgende som kun je haakjes schrijven zoals je wilt: $16 : 8 : 4 : 2 : 1$ .
Welke mogelijke uitkomsten kun je krijgen?

Dezelfde vraag voor $16 \times 8 \times 4 \times 2 \times 1$ .

En voor $16 - 8 - 4 - 2 - 1$ .

En voor $16 + 8 + 4 + 2 + 1$ .

Wanneer haakjes er niet toe doen

Bereken; schrijf ook een tussenstap op.

$12 + 4 + 2$	en	$12 + (4 + 2)$
$12 - 4 - 2$	en	$12 - (4 - 2)$
$12 \times 4 \times 2$	en	$12 \times (4 \times 2)$
$12 : 4 : 2$	en	$12 : (4 : 2)$

Bij welke sommen in onderdeel a maakt het niets uit of er haakjes staan?

Iemand heeft een getal in gedachten genomen. Dat getal noemen we $a$ . Je weet niet welk getal $a$ is; $a$ is een variabele.

Je moet bij $a$ de getallen 4 en 2 optellen. Dat kan

met haakjes: $a + (4 + 2)$
en zonder haakjes: $a + 4 + 2$ .

Maakt het iets uit of er haakjes staan?

Je moet van $a$ de getallen 4 en 2 aftrekken. Dat kan

met haakjes: $a - (4 - 2)$
en zonder haakjes: $a - 4 - 2$ .

Maakt het iets uit of er haakjes staan?

Je moet $a$ met de getallen 4 en 2 vermenigvuldigen. Dat kan

met haakjes: $a \times (4 \times 2)$
en zonder haakjes: $a \times 4 \times 2$ .

Maakt het iets uit of er haakjes staan?

Je moet $a$ door de getallen 4 en 2 delen. Dat kan

met haakjes: $a : (4 : 2)$
en zonder haakjes: $a : 4 : 2$ .

Maakt het iets uit of er haakjes staan?

In 1996 zaten er rekenflippo’s in de zakken "Buggles" van Smith Chips. In de figuur zie je zo’n rekenflippo. Er staan vier cijfers op. Het is de bedoeling dat je door optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met die vier cijfers het getal 24 maakt. Elk van de cijfers moet precies één keer gebruikt worden. De stippen in het midden geven de moeilijkheidsgraad aan: één stip is eenvoudig, drie stippen is moeilijk.

Los jij de rekenflippo 1-2-7-8 even op.

Los zo ook de volgende negen rekenflippo’s op. Schrijf je antwoord als één berekening. Als er haakjes nodig zijn, moet je die niet vergeten! Maar als je geen haakjes nodig hebt, mag je die ook niet gebruiken.

Verzin zelf een 24-rekenflippo waarbij je twee paar haakjes nodig hebt om de oplossing in één keer op te schrijven.

In deze applet kun je meer rekenflippo's maken.
(Je mag nu wel onnodige haakjes gebruiken.)

Hoeveel 24-rekenflippo’s bestaan er eigenlijk? Die vraag is moeilijk te beantwoorden. Volgens het tijdschrift Natuur en Techniek (juni 1996) zijn er 404 rekenflippo’s. Maar helemaal zeker is dat niet.