parabolen

De parabool met vergelijking y = x 2 noemen we de standaardparabool.

De parabool y = c ( x a ) 2 + b (met c 0 ) ontstaat uit de parabool y = c x 2 door die a eenheden naar rechts en b eenheden naar boven te schuiven.

De top van de parabool is ( a , b ) .

Je krijgt een dalparabool als c > 0 en een bergparabool als c < 0 . Het getal c bepaalt hoe ‘breed’ de parabool is.

De parabolen hebben allemaal een symmetrieas: de verticale lijn door de top. Een vergelijking van de symmetrieas is: x = a .

opstellen van een vergelijking voor parabolen

De vergelijking van een parabool is: y = c ( x a ) 2 + b (met c 0 ), ( a , b ) is de top en een willekeurig punt is ( x , y ) .

De top van een parabool is ( 1,2 ) , dan a = 1 en b = 2 .

Hier volgt uit: y = c ( x + 1 ) 2 + 2 .
Een punt op de parabool is ( 3,1 ) , dan x = 3 en y = 1 .
Hier volgt uit:
1 = c ( 3 + 1 ) 2 + 2
1 = 16 c + 2
1 = 16 c
1 16 = c
Vergelijking van de parabool: y = 1 16 ( x + 1 ) 2 + 2 .

hyperbolen

De hyperbool ( x a ) ( y b ) = c ontstaat uit de hyperbool x y = c door a eenheden naar rechts en b eenheden omhoog te schuiven.

De vergelijking van de horizontale asymptoot is: y = b en de vergelijking van de verticale asymptoot is: x = a .

opstellen van een vergelijking voor hyperbolen

De horizontale asymptoot van een hyperbool heeft vergelijking y = 3 .
De verticale assymptoot heeft vergelijking x = 1 .
Hieruit volgt dat a = 1 en b = 3 in de vergelijking ( x a ) ( y b ) = c .
Dus: ( x + 1 ) ( y 3 ) = c .
Als je weet dat een punt van de hyperbool ( 2, 1 ) is, dan is x = 2 en y = 1 .
Dus: ( 2 + 1 ) ( 1 3 ) = 4 = c .

Vergelijking van de hyperbool: ( x + 1 ) ( y 3 ) = 4 .

abc-formule

Of de vergelijking a x 2 + b x + c = 0 oplossingen heeft, is te bepalen met de waarde van D = b 2 4 a c .
We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.

De vierkantsvergelijking a x 2 + b x + c = 0 met a 0 heeft

  • geen oplossingen als D < 0

  • één oplossing als D = 0 , namelijk: x = b 2 a

  • twee oplossingen als D > 0 namelijk:
    x = b + D 2 a    of    x = b D 2 a


Voorbeeld:
3 ( x 2 ) 2 = 8 x 20
3 x 2 + 12 x 12 = 8 x 20
3 x 2 + 4 x + 8 = 0
a = 3,   b = 4,   c = 8
D = 16 4 3 8 = 112
D = 112 = 4 7
x = 4 + 4 7 6 = 2 3 2 3 7    of    x = 4 4 7 6 = 2 3 + 2 3 7

raaklijnen en raakpunten

Als een lijn één gemeenschappelijk punt met de parabool of hyperbool heeft, spreken we van een raaklijn aan de parabool of hyperbool.

Voorbeeld:
Voor welke k raakt de lijn y = x + k aan de parabool y = x 2 ?
x 2 = x + k x 2 x k = 0 .
Raken betekent D = 0 , dus ( 1 ) 2 4 1 k = 0 1 + 4 k = 0 k = 1 4 .

Vergelijking raaklijn is: y = x 1 4 . Raakpunt is ( 1 2 , 1 4 ) .