Voorlopig bekijken we alleen functies met getallen als invoer en uitvoer. In de laatste paragraaf zullen we ook andere soorten invoer toelaten.
Als je weet wat een brief weegt, weet je hoeveel postzegels erop moet (per 01 augustus 2013 kost een postzegel cent):
gewicht (gram) aantal postzegels
Bekijk de grafiek van het aantal postzegels als functie van het gewicht van een brief.
Hoeveel postzegels moet er op een brief van gram?
Een brief is twee keer zo zwaar als een andere. Maar er moet evenveel postzegels op.
Wat kan de lichtste van die twee brieven gewogen hebben? Geef een voorbeeld.
gram erbij en het aantal postzegels stijgt met .
Wat weegt de brief (ongeveer)?
Het aantal postzegels is een functie van het gewicht.
Je kunt de pijl niet omdraaien: het gewicht is geen functie van het aantal postzegels.
Waarom niet?
De Vrij gaat op vakantie in Indonesië. De vliegreis kost ,-. Het aantal dagen dat hij in Indonesië zal verblijven noemen we ; de verblijfkosten zijn ,- per dag.
Wat kost de vakantie in totaal als de Vrij dagen in Indonesië zal verblijven?
Als je het aantal dagen kent dat De Vrij in Indonesië verblijft, kun je de totale kosten (euro) uitrekenen.
aantal verblijfdagen totale vakantiekosten
Geef de omrekenformule: .
Wat zijn de gemiddelde kosten per vakantiedag als hij dagen in Indonesië verblijft?
Als je het aantal dagen kent, kun je de gemiddelde kosten (euro) per dag uitrekenen.
aantal verblijfdagen gemiddelde kosten per dag
Geef de omrekenformule.
Een tanker is lekgeslagen op de rotsen van Bretagne. Er lekt olie uit de tanker, elke
dag
m3. Er is een grote olievlek rond de tanker ontstaan, die zich voortdurend uitbreidt.
Als je het aantal dagen kent dat het geleden is dat de tanker op de rotsen sloeg,
kun je de hoeveelheid
olie uitrekenen die uit de tanker is gelekt.
Het aantal dagen lekken noemen we , de hoeveelheid gelekte olie in m3 noemen we .
We kunnen dus schrijven: .
Geef de omrekenformule waarmee je kunt uitrekenen als je kent.
Neem aan dat de olievlek overal dm hoog is.
Als je het aantal dagen kent dat het geleden is dat de tanker op de rotsen sloeg,
kun je ook de oppervlakte
van de olievlek uitrekenen; die oppervlakte noemen we .
aantal dagen lekken opp. olievlek (km2)
Afgekort:
Wat is dan de oppervlakte van de laag olie na dagen?
De “omgekeerde functie” voegt aan de oppervlakte het aantal dagen lekken toe. Dus .
Geef de omrekenformule.
Neem aan dat de olievlek een cirkel is. (De werkelijkheid is vaak anders. Door de wind en de stroming zal de vlek anders van vorm worden en blijft hij ook niet rond het schip liggen).
Wat is dan de straal van de olievlek na dagen?
Als je het aantal dagen kent dat het geleden is dat de tanker op de rotsen sloeg,
kun je de straal van de cirkel uitrekenen. Die straal noemen .
aantal dagen lekken straal cirkel (km)
Afgekort:
Geef de omrekenformule.
Een boek heeft bladzijden.
Hoeveel moet je er nog lezen, als je bladzijden gelezen hebt?
Het aantal bladzijden dat je al gelezen hebt noemen we ; het aantal dat je nog moet lezen noemen we .
Is een functie van ?
Geef de omrekenformule (waarbij uitgedrukt wordt in ).
Is een functie van ?
Geef de omrekenformule (waarbij uitgedrukt wordt in ).
De luchtdruk hangt af van de hoogte. We gaan uit van een luchtdruk van
pascal op zeeniveau. Elke vijf km stijging daalt de luchtdruk met .
Als je de hoogte kent, kun je de luchtdruk uitrekenen:
hoogte (km) luchtdruk (pascal)
Wat is de luchtdruk op km en op km hoogte?
Waarom wordt de luchtdruk binnen een vliegtuig dat op bijvoorbeeld km hoogte vliegt) kunstmatig geregeld?
Kun je de pijl ook omkeren, dus:
luchtdruk hoogte? Waarom?
We hebben een stel voorbeelden gezien van functies. Functies kom je overal tegen. Zoals rekenen niet zonder getallen kan, en meetkunde niet zonder figuren, kan wiskunde niet zonder functies. Wat is een functie eigenlijk? Dat gaan we nu proberen te zeggen.
Stel dat je twee variabelen hebt, zeg en , en
hangt op de een of andere manier samen met .
In díe zin dat bij elke waarde van (in principe) maar één waarde van bestaat (niet meer).
Dan zeggen we dat een functie is van .
En we noteren: .
Je zou de pijl kunnen uitspreken als: "aan wordt "toegevoegd" of "bij hoort b"
("In principe", omdat het wel eens moeilijk kan zijn om bij een waarde
van de bijbehorende waarde van te bepalen.)
Op mijn rekenmachine zit de knop ; op andere machines heet diezelfde knop anders, bijvoorbeeld . Dat is een voorbeeld van een functie, en wel een heel eenvoudige. Je voert een getal in in de rekenmachine, drukt op die knop en er verschijnt een (meestal ander) getal in het venster.
Zoek uit wat de werking van die knop is.
Werkt die knop ook als je een negatief getal invoert? En als je invoert?
Welke invoergetallen laat de knop onveranderd?
Je voert een getal in in je rekenmachine. Een knop maakt er een ander getal
van:
invoer [knop] uitvoer
De functie in opgave 9 heeft een eigen naam:
OMGEKEERDE, afgekort OMG.
Een formule van deze functie is: als de invoer heet, en de uitvoer .
We gaan nu kijken welke andere functies er standaard op de rekenmachine zitten:
, , , , , ,
De knop voegt aan een getal zijn kwadraat toe.
Dus: invoer uitvoer .
Er geldt: .
Deze functie noemen we .
De knop voegt aan een getal de wortel van dat getal toe.
Dus: invoer uitvoer
Er geldt: .
Deze functie noemen we .
Welke getallen kun je niet als invoer nemen bij de functie ?
Wat hebben de functies en met elkaar te maken?
De andere vijf knoppen zijn eigenlijk een heleboel functies tegelijk.
Bijvoorbeeld de knop . Door daarna een getal, zeg 5, in te tikken,
ontstaat de functie .
In hoofdstuk 9 heb je machientjes als , ,
en leren kennen. Dat zijn voorbeelden van functies.
We noemen de invoer weer en de uitvoer .
Bij de functie hoort dan de formule .
Bekijk de grafiek van deze functie.
Welke formules horen bij de functies , en ?
Teken de grafieken van deze functies.
Ten slotte de functie ; je zou dit machientje DERDEMACHT kunnen noemen.
Wat doet die functie met een getal?
Geef een formule voor de uitvoer , uitgedrukt in de invoer .
Ken jij een andere naam voor de functie ?
Weet jij een andere naam voor de functie ?
En voor de functie ?
Weet je een andere naam voor de functie ?
En voor de functie ?
Welk getal hoort op de plaats van het vraagteken?
Er is nog de knop op mijn rekenmachine. Die maakt van invoer uitvoer en van invoer uitvoer .
Zeg in eigen woorden wat deze knop doet.
Geef een formule voor de uitvoer , uitgedrukt in de invoer .
Niet elke rekenmachine heeft deze knop, maar dat is niet erg.
Wat kun je doen om deze functie uit te voeren op een rekenmachine die deze knop mist?
Ook deze functie heeft een eigen naam: .
De functies in de laatste opgaven waren erg eenvoudig. Dat zijn “basisfuncties”. De basisfuncties zitten allemaal op zelfs de meest eenvoudige rekenmachine. Door de basisfuncties te combineren (na elkaar te schakelen), kun je er ingewikkelde(re) functies mee bouwen. Je zou dus kunnen zeggen dat de basisfuncties bouwstenen zijn voor andere functies.
Een auto rijdt van Utrecht naar Arnhem over Rijksweg A12. Om uur komt hij bijverkeersplein Oudenrijn op de rijksweg en verlaat deze weer om uur via afslag Arnhem. Hij heeft dan km op de A12 afgelegd. We nemen aan dat de auto met constante snelheid rijdt.
Hoeveel km legt de auto per minuut af?
Je kunt op elk moment uitrekenen hoeveel km de auto van Oudenrijn af is. Het aantal minuten over uur noemen we ; het aantal kilometer vanaf Oudenrijn noemen we .
Maak een tabel voor de waarden is , , , en en teken de grafiek.
... |
... |
... |
... |
... |
Neem . De berekening van de bijbehorende waarde van gaat in twee stappen. Eerst trek je een getal van af en dan vermenigvuldig je de uitkomst met een getal.
Schrijf die berekening op.
Om de tijd (het aantal minuten over uur) om te rekenen naar de afstand van Oudenrijn, pas jij twee machientjes toe.
Neem over en vul de juiste getallen in:
.
Je kunt ook een formule geven voor het verband waarbij wordt uitgedrukt in .
Geef die formule.
We gaan verder met de context van opgave 15. Een motor rijdt dezelfde weg, met dezelfde snelheid, maar in tegengestelde richting. Om uur komt hij bij Arnhem op de A12 en hij verlaat hem bij Oudenrijn om uur. Je kunt berekenen hoeveel km de motor van Oudenrijn af is om minuten over uur.
Maak een tabel voor de motor en teken de grafiek in dezelfde figuur als bij de vorige opgave.
... |
... |
... |
... |
Er is een ketting van twee machientjes die voor de motor omrekent in .
Neem over en vul in:
.
Geef een formule voor het verband die voor de motor uitdrukt in .
Bereken hoe laat de auto van opgave 15 en de motor elkaar op de A12 ontmoeten. Los daartoe een vergelijking op. Controleer je antwoord in de grafiek.
Bekijk de ketting: .
Welke formule drukt bij deze ketting de uitvoer uit in de invoer ?
Dezelfde vraag voor de ketting:
De drie functies , en kun je op zes manieren na elkaar schakelen tot een ketting.
Schrijf die zes kettingen op.
Geef bij elke ketting de formule.
Geef een formule voor als functie van .
Maak een tabel op klad en teken de grafiek van deze functie.
Voor welke invoer is er geen uitvoer?
Welke invoer levert uitvoer op?
Schrijf deze functie als ketting van drie machientjes.
Maak een tabel op klad en teken de grafiek van deze functie.
Welke getallen kun je bij deze functie niet als invoer kiezen?
Welke invoer levert uitvoer op?
Bekijk deze grafiek van een functie met als invoer en als uitvoer.
Stel een formule voor , uitgedrukt in .
Schrijf deze functie als ketting van machientjes.
Welke invoer levert uitvoer op?
Je kunt een functie beschouwen als een machine. Daarin kun je getallen invoeren. In het inwendige van de machine gebeurt het een en ander. Daarna voert de machine een getal uit. De uitvoer hangt af van de invoer. Bij een getal als invoer hoort nooit meer dan een getal als uitvoer.
De invoer en uitvoer hoeven niet per se getallen te zijn. Maar voorlopig
is dat voor ons wel het geval. In de laatste paragraaf van dit hoofdstuk bekijken
we ook andere soorten functies.
Van twee functies kun je een “ketting” maken door de ene na de andere toe
te passen. Zodoende kun je met de basisfuncties nieuwe functies bouwen. Maar soms
zijn die kettingen eigenlijk een oude functie, zoals in de volgende opgave.
De ketting van de functies kun je korter weergeven. Hoe?
Zo is ook de ketting een oude bekende.
Welke functie is dat?
Schrijf zo ook korter:
Vergelijk de kettingen en .
Welke uitvoer geeft elk van de functies bij invoer ?
En bij invoer ?
Welke uitvoer geeft elk van de functies bij invoer ?
Schrijf die zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.
Je ziet dat bij de ene functie de uitvoer altijd groter is dan bij de andere.
Hoeveel groter?
en zijn verschillende kettingen. Dat wil zeggen dat ze bij dezelfde invoer verschillende uitvoer geven.
Welke van de twee kettingen geeft de grootste uitvoer? Hoeveel groter dan de andere ketting?
en zijn verschillend. De twee kettingen geven bij dezelfde invoer verschillende uitvoer.
Met welk getal moet je de uitvoer bij de tweede ketting vermenigvuldigen om de uitvoer bij de eerste ketting te krijgen?
Druk de uitvoer van deze ketting uit in de invoer . Schrijf de formule zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.
Kettingen waarin alleen de functies , , en
voorkomen
hebben een formule van de vorm .
De grafiek van zo’n kettingfunctie is een rechte lijn; we spreken van een lineaire functie.