Niet alle vergelijkingen zijn op te lossen met ontbinden. Soms is het zelfs niet nodig om haakjes uit te werken. Zie volgend voorbeeld.
Voorbeeld
Los op:
of
of
In het bovenstaande voorbeeld had je eventueel de haakjes kunnen uitwerken en vervolgens
kunnen
ontbinden in factoren. Maar als je geen gehele getallen als oplossing krijgt lukt
dat niet.
Hoe je de vergelijking oplost zie je hieronder.
Voorbeeld
Los op:
of
of
Los zo ook de volgende vergelijkingen op.
Neem over en vul in.
schrijven als en schrijven als noemen we kwadraatafsplitsen.
Voorbeeld
Hoe los je de vergelijking op?
PLUS
|
|||
KWADRAATAFSPLITSEN
|
|||
of | |||
of |
Los zo ook de volgende vergelijkingen op.
In de voorgaande vergelijkingen stond er steeds en niet bijvoorbeeld .
Wat te doen als dat wel het geval is? Een voorbeeld zie je hieronder.
Voorbeeld
Los op:
DELEN DOOR 2
|
|||
PLUS 6
|
|||
VEREENVOUDIGEN
|
|||
KWADRAATAFSPLITSEN
|
|||
of | |||
of |
Er is een formule die je onmiddellijk de oplossingen
geeft van een tweedegraads vergelijking. Dat is de zogenaamde abc-formule.
Van de vergelijking , met , zijn de oplossingen:
of.
Welk getal stellen , en voor in het voorbeeld van hierboven.
Vul de getallen voor , en in in de oplossingen en en laat zien dat er inderdaad voor de waarden en uit komen.
De abc-formule (wortelformule)
Algemeen:
, met , dan zijn de oplossingen:
of .
Of de vergelijking oplossingen heeft, is te bepalen met de waarde van . We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.
Discriminare (Latijn) betekent: onderscheid maken. (Hier wordt onderscheid gemaakt
tussen het aantal oplossingen.)
De vierkantsvergelijking met heeft
geen oplossingen als
één oplossing als , namelijk:
twee oplossingen als namelijk: of
Een bewijs van de abc-formule
MAAL
|
|||
kwadraatafsplitsen
|
|||
PLUS en MIN
|
|||
of | |||
of | |||
of |
Voorbeeld
Deze vergelijking krijg je uit door
, en in te vullen.
(dus de vergelijking heeft twee oplossingen)
of
of
In de abc-formule komt in de noemer voor.
Dus mag niet 0 zijn in de vergelijking
. Als , pas je de abc-formule natuurlijk ook niet toe.
Waarom niet?
Los de volgende vierkantsvergelijkingen op met de abc-formule. Kijk goed naar het voorbeeld.